Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Determinar três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.

Passo 1

Então galera, neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor mínimo da soma, mas sabendo que o produto deve ser igual a 100.

Então neste caso a condição será:

s . a .                   x y z =   100

Como nós queremos minimizar a soma entre eles:

s = x + y + z

Então, nós teremos o seguinte problema de otimização:

min ⁡                                 x + y + z

s . a .                             x y z =   100

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = x + y + z - λ ( x y z - 100 )

Derivando L em relação às variáveis x, y e z e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = 1 - λ y z = 0

∂ L ∂ y = 1 - λ x z = 0

∂ L ∂ z = 1 - λ x y = 0

∂ L ∂ λ = - ( x y z - 100 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

x = y

Se igualamos a segunda e a terceira achamos:

y = z

Colocando na última equação:

x y z - 100 = 0

x 3 = 100

x = 100 3

Achando y e z:

y = z = 100 3

Sendo assim, nós temos o ponto 100 3 ,   100 3 ,   100 3 .

Gostaram?

Resposta

100 3 ,   100 3 ,   100 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar o ponto P(x, y, z) do plano x +   3 y +   2 z = &
Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a reta que melhor se aju
Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a reta que melhor se aju
Uma firma de embalagem necessita fabricar caixas retangulares de 64 cm