Determinar dz/dt, usando a regra da cadeia

z = e^x (cos x + cos y), x = t^3, y = t^2

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y   =   f x   e   x = h ( t ) tem se

d y d t = d f x d x . d x d t

Se ambas f   e   h   forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z   =   f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g t e y   = h t diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

d z d t = ∂ z ∂ x . d x d t + ∂ z ∂ y . d y d t

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x . d x ( t 0 ) d t + ∂ f x , y ∂ y . d y t 0 d t

∂ f x , y ∂ x = e x ( c o s x - s e n x + c o s y )

∂ f x , y ∂ y = - e x s e n y

d x ( t ) d t = 3 t 2

d y t d t = 2 t  

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

d f x , y d t =   e x ( c o s x - s e n x + c o s y ) ×   3 t 2 - e x s e n y ×   2 t =

Deixando tudo numa só variável (t)

= t e t 3 ( 3 t c o s t 3 - 3 t s e n t 3 + 3 t c o s t 2 - 2 s e n t 2 )

Resposta

t e t 3 ( 3 t c o s t 3 - 3 t s e n t 3 + 3 t c o s t 2 - 2 s e n t 2 )

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