Determine dy.

y = ln((x + 1) / raiz(x - 1))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de y em x.

Temos que a derivada da função ln é dada por l n ' = 1 x .

Temos que y é uma função composta, então usaremos a Regra da Cadeia para derivá-la (derivamos de fora pra dentro).

Passo 2

Derivando pela Regra da Cadeia, teremos:

y ' = 1 x + 1 x - 1 × x + 1 x - 1 '

Temos então que derivar x + 1 x - 1 . Vamos usar a regra do quociente e a derivada da função raiz quadrada.

Passo 3

y ' = 1 x + 1 x - 1 × x + 1 x - 1 '

y ' = 1 x + 1 x - 1   × ( 1 x - 1 - 1 2 x - 1   × 1 x - 1 2

Vamos fazer umas manipulações algébricas pra deixar mais “bonitinho”...

y ' = ( x - 1 ) x + 1   ×   x - 1 - 1 2 x - 1   x - 1 2

y ' = 1 x + 1 × x - 1 - 1 2 x - 1   √ ( x - 1 )

y ' = 1 x + 1 × ( 1 - 1 2 x - 1 )

Resposta

A derivada final é:

d y = 1 x + 1 - 1 2 x 2 - 1

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