Enunciado

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. (Suponha que f e   g   denotem funções contínuas num intervalo [ a ,   b ] e que f m e g m denotem os respectivos valores médios de f e g em [ a ,   b ] . )

Se g m   <   f m , então g ( x )   ≤   f ( x ) em [ a ,   b ] .

Passo 1

Ele diz que g m < f m implica em g x ≤ f ( x ) para todo o intervalo que estamos trabalhando. Ou seja, não pode acontecer f x < g ( x ) para nenhum x no nosso intervalo.

Vamos pensar num exemplo que possa constestar essa informação. Se:

f x = x

g x = - 1 2

x ∈ [ - 1,1 ]

Se usarmos a fórmulinha ou pensarmos por simetria, vamos ver que valor médio de f nesse intervalo é 0 e o de g é o próprio valor de - 1 / 2 . Ou seja, g m < f m .

Mas a gente sabe que em [ - 1 , - 1 / 2 ] :

f x ≤ g ( x )

Já que isso acontece dentro do intervalo que estamos trabalhando, isso contesta a afirmação. Logo, ela é falsa.

Resposta

Falso

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