Enunciado

Determine, aproximando o valor até a precisão de um grau, os três ângulos do triângulo cujos vértices são dados.

P 2,0 ,     Q 0,3 ,     R ( 3,4 )

Passo 1

Vamos dizer que cada letra minúscula seja nosso vértice, okay? Certo! Desse modo, p ,   q   e   r , são os vértices de P ,   Q   e   R , como mostra a figura:

Então p é o ângulo entre os vetores P Q → e P R → ; q é o ângulo entre os vetores Q P → e Q R → , e r é o ângulo entre os vetores R P → e R Q → .

Passo 2

Fazemos o ângulo de cada vetor. Para p :

cos ⁡ p = P Q → ∙   P R →   P Q → P R →

cos ⁡ p = < - 2,3 >   ∙   < 1,4 >   - 2 2 + 3 2 1 2 + 4 2

cos ⁡ p = - 2 + 12   13 17

cos ⁡ p = 10   221

p = cos - 1 ⁡ ( 10   221 )

p = 48 °

A mesma coisa serve para os outros. Para q :

cos ⁡ q = Q P → ∙   Q R →   Q P → Q R →

cos ⁡ q = < 2 , - 3 >   ∙   < 3,1 >   2 2 + ( - 3 ) 2 1 2 + 3 2

cos ⁡ q = 6 - 3 13 10

cos ⁡ q = 3   130

q = cos - 1 ⁡ ( 3   130 )

q = 75 °

De uma maneira mais pratica podemos ter o valor do ângulo r , uma vez que já temos os outros dois! Tendo em vista que esse triângulo compõe 180 ° , podemos apenas subtrair do somatório dos ângulos que temos:

r ≈ 180 ° - 48 ° + 75 ° ≈ 57 °

Finish!!

Resposta

p = 48 ° , q = 75 ° e r = 57 ° .

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Seja P um ponto não pertenente ao plano que passa pelos pontos Q , R e S . Mostre que a distancia d do ponto P ao plano é d = a × b ∙ c a × b Onde a = Q R → , b = Q S → e c = Q P → .Utilize a fórmula
Seja v = 5 j e seja u um vetor com comprimento 3 com início na origem e que gira no plano x y . Determine o máximo e o mínimo valor possível para u × v . Qual a direção e o sentido de u × v ?
Use vetores para decidir se o triângulo com vértices P 1 , - 3 , - 2 ,Q ( 2,0 , - 4 ) e R ( 6 , - 2 , - 5 ) é retângulo.
Para que valores de b os vetores - 6 , b , 2 e b , b 2 , b são ortogonais?
Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.24. (a) u =- 3,9 , 6, v =4 , - 12 , - 8 (b) u = i - j + 2 k , v = 2 i - j + k (c) u =a , b , cv =- b , a , 0