Enunciado

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Uma esfera de raio a

Passo 1

Beleza, galera? Utilizando coordenadas polares, podemos escrever uma integral dupla que represente o volume da metade superior de uma esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = a 2

r 2 + z 2 = a 2

z 2 = a 2 - r 2

z + = a 2 - r 2

V + = ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r 2   r   d r   d θ

Pra calcular o volume da esfera inteira, é só multiplicar a integral por 2 :

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r 2   r   d r   d θ

Passo 2

Podemos separar a integral no produto de duas integrais simples:

V = 2   ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a r a 2 - r 2   d r = 2   θ 0 2 π - a 2 - r 2 3 2 3 0 a = 2   .   2 π   .   1 3 - a 2 - a 2 3 2 + a 2 - 0 3 2 = 4 π a 3 3

Resposta

4 π a 3 3

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Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - xd yd x
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Abaixo da superfície z = x 3 y 4 + x y 2 e acima da região limitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .
Calcule ∫ ∫ D 1 - x 2 - y 2d A , onde D é o disco x 2 + y 2 ≤ 1 , identificando primeiro a integral como o volume de um sólido.
Desenhe o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e determine seu volume exato. (Utilize seu SCA para fazer esse desenho, para achar as equações das fronteiras da