Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 10
Determine a área da superfície.
A parte da esfera que está acima do plano .
Passo 1
Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:
Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de em função de e de para só depois resolvermos as integrais.
Passo 2
Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais de . Para isto, precisaremos derivar implicitamente a função . Sendo assim
Portanto, devemos resolver a seguinte integral:
Passo 3
A região de integração é o domínio da nossa esfera acima do plano . Para obtermos a região de fronteira, basta fazermos a interseção das duas superfícies. Desta forma, obtemos:
Obtemos uma região circular de raio e centro na origem. Como estamos trabalhando em uma região circular, é conveniente descrevê-la em coordenadas polares. Portanto, temos os seguintes limites:
Agora, basta resolvermos a seguinte integral: