Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está acima do plano z = 1 .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais de z . Para isto, precisaremos derivar implicitamente a função F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 4 . Sendo assim

∂ z ∂ x = ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z = x z

∂ z ∂ y = ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z = y z

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + x z 2 + y z 2 d A = ∬ D 1 + x 2 + y 2 z 2 d A

A S = ∬ D 1 + x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 d A

Passo 3

A região de integração é o domínio da nossa esfera acima do plano z = 1 . Para obtermos a região de fronteira, basta fazermos a interseção das duas superfícies. Desta forma, obtemos:

x 2 + y 2 + 1 = 4

x 2 + y 2 = 3

Obtemos uma região circular de raio 3 e centro na origem. Como estamos trabalhando em uma região circular, é conveniente descrevê-la em coordenadas polares. Portanto, temos os seguintes limites:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 3

Agora, basta resolvermos a seguinte integral:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 1 + r 2 4 - r 2 d r d θ

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 4 4 - r 2 d r d θ

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r 4 - r 2 d r d θ

A S = ∫ 0 2 π - 2 4 - r 2 1 2 0 3 d θ

A S = ∫ 0 2 π 2 d θ = 4 π

Resposta

A S = 4 π

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Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = 1 - x 2 - y 2 e z = 0 .
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Entre os paraboloides z = 2 x 2 + y 2 e = 8 - x 2 - 2 y 2 e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - xd yd x
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Abaixo da superfície z = x 3 y 4 + x y 2 e acima da região limitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .