Determine a área da região sombreada.

Passo 1

Para determinar a área da região sombreada de y = f ( x ) precisamos primeiramente definir o intervalo da função f . Pela imagem é fácil perceber que ela é delimitada por x = π   6 e x = 5 π 6 .

Logo, temos o seguinte intervalo π 6 , 5 π 6 .

Passo 2

Agora devemos integrar f e substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

∫ π 6 5 π 6 s e n   x d x = - cos ⁡ x 5 π 6 π 6 = - cos ⁡ 5 π 6 - - cos ⁡ π 6 = 3 2 + 3 2 = 3

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos da integral calculada. Logo:

A = 3

Resposta

3

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