Enunciado

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.

y = 1 3 x 2 + 2 3 2 ,         0 ≤ y ≤ 2 ;         e i x o   y

Sugestão: Expresse d s = d x 2 + d y 2 em termos de d x , e calcule a integral S = ∫ 2 π x   d s com limites apropriados.

Passo 1

Seguindo primeiramente a sugestão dada, temos que:

d y = x x 2 + 2   d x ⇒ d s = 1 + 2 x 2 + x 4   d x

Assim, temos que:

S = ∫ 0 2 2 π   x 1 + 2 x 2 + x 4   d x = 2 π ∫ 0 2 x ( x 2 + 1 ) 2 d x = 2 π ∫ 0 2 x x 2 + 1 d x =  

= 2 π ∫ 0 2 x 3 + x d x

Passo 2

Integrando, temos:

2 π ∫ 0 2 x 3 + x d x = 2 π x 4 4 + x 2 2 2 0

Lembre-se que a integração de um polinômio é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1

Passo 3

Por fim, aplicamos os limites de integração e calculamos a área:

S = 2 π x 4 4 + x 2 2 2 0 = 2 π 2 4 4 + 2 2 2 = 2 π 1 + 1 = 4 π

Relembrando que de forma genérica a aplicação dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

4 π

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