Calcule a integral

∫ 0 ln ⁡ π 2 x e x 2 cos ⁡ e x 2   d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ 0 ln ⁡ π 2 x e x 2 cos ⁡ e x 2   d x

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

∫ 2 x e x 2 cos ⁡ e x 2   d x

Façamos uma mudança de variável. Se chamarmos u = e x 2 , consequentemente, teremos d u = 2 x e x 2 d x . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

∫ 2 x e x 2 cos ⁡ e x 2   d x = ∫ cos ⁡ u   d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Resolvendo a nossa integral, temos:

∫ cos ⁡ u   d u = sen ⁡ u + k

Voltando para a variável inicial, temos:

sen ⁡ u + k = sen ⁡ e x 2 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

∫ 0 ln ⁡ π 2 x e x 2 cos ⁡ e x 2   d x = sen ⁡ e x 2 0 ln ⁡ π

∫ 0 ln ⁡ π 2 x e x 2 cos ⁡ e x 2   d x = sen ⁡ e ln ⁡ π - sen ⁡ e 0  

∫ 0 ln ⁡ π 2 x e x 2 cos ⁡ e x 2   d x = sen ⁡ π - sen ⁡ 0  

∫ 0 ln ⁡ π 2 x e x 2 cos ⁡ e x 2   d x = 0 - sen ⁡ 1 = sen ⁡ 1

Resposta

∫ 0 ln ⁡ π 2 x e x 2 cos ⁡ e x 2   d x = sen ⁡ 1

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