Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que está no primeiro octante.

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a área de uma superfície devemos fazer:

A S = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Onde a função z = f ( x , y )   é uma função das variáveis x e y , dentro da região no plano x y .

Aqui a função é:

z = 6 - 3 x - 2 y

No primeiro octante, isso quer dizer que, no plano x y , ou seja, com z = 0 temos:

6 = + 3 x + 2 y

Isolando y   t e m o s :

y = 6 - 3 x 2

Então os limites são:

0 ≤ y ≤ 6 - 3 x 2

E para x , é só colocar y = 0 :

0 ≤ x ≤ 2

Então o diferencial de área vai ser d y d x e o intervalo:

0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 3 - 3 2 x

Passo 2

Agora temos que calcular os valores de ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

A função z é: z = 6 - 3 x - 2 y . As derivadas parciais são:

∂ z ∂ x = - 3

∂ z ∂ y = - 2

Assim temos:

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   = 1 + - 3 2 + - 2 2   = 14

Passo 3

Agora vamos montar a integral:

∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ 0 2 ∫ 0 3 - 3 2 x 14 d y d x

A = 14 ∫ 0 2 y 0 3 - 3 2 x d x = 14 ∫ 0 2   3 - 3 2 x   d x = 14 3 x - 3 4 x 2 0 2

A = 14 3.2 - 3 4 2 2 - 0 = 14 . 6 - 3 = 3 14

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

3 14

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