Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do plano x y .

Passo 1

Vamos utilizar para esse exercício a relação para área da superfície dada por

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A

Passo 2

Temos que nosso domínio D será a própria projeção da nossa função no plano x y .Ou seja, nosso intervalo de integração será

x 2 + y 2 ≤ 4

Vamos aplicar uma transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Temos então que

x = r ⋅ cos ⁡ θ

y = r ⋅ sin ⁡ θ

Assim, substituindo no intervalo de integração, temos que nosso novo intervalo será

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

Aplicando então a nossa integral dupla para a área e substituindo os valores, temos que

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A =

= ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 2 - 2 ⋅ r ⋅ cos ⁡ θ 2 + - 2 ⋅ r ⋅ sin ⁡ θ 2 + 1 ⋅ r ⋅ d r ⋅ d θ =

= ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 2 4 ⋅ r 2 + 1 ⋅ r ⋅ d r ⋅ d θ

Aplicando a substituição de variável, com u = 4 ⋅ r 2 + 1 , temos que

∫ 0 2 ⋅ π ∫ 1 17 1 8 ⋅ u ⋅ d u ⋅ d θ = ∫ 0 2 ⋅ π 2 3 ⋅ 1 8 ⋅ u 3 2 1 17 ⋅ d θ = 1 12 ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π 17 3 2 - 1 ⋅ d θ =

= 1 12 ⋅ 17 ⋅ 17 - 1 ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π d θ = π 6 ⋅ 17 ⋅ 17 - 1

Resposta

A S = π 6 ⋅ 17 ⋅ 17 - 1

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