Enunciado

Determine a área da superfície.

A Parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4

Passo 1

O que queremos do exercício é a área da superfície delimitada por

z = f x , y = y 2 - x 2 , na qual 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4

Pela equação 3 do capítulo, temos que

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como

J = ∂ x , y , z ∂ u , v , w = d e t ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z ∂ w

Onde u , v , w são as coordenadas do novo sistema.

Passo 2

Utilizando coordenadas cilíndricas, onde

x = r cos ⁡ θ , y = r   s e n   θ e z = z

Temos que, o intervalo de integração pode ser definido em r e θ como 1 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Assim vamos conduzir nossa integral da seguinte forma.

A S = ∬ D 1 + 4 x 2 + 4 y 2 d A = ∬ S 1 + 4 r 2 J d S

Onde J é o nosso Jacobiano em coordenadas cilíndricas é r .

Assim temos

A S =   ∬ S 1 + 4 r 2 r   d r   d θ

Em θ é fácil ver que a intregação dá 2 π , ou seja, ficamos com

A S = π ∫ 1 2 2 r   1 + 4 r 2   d r

Vamos fazer a seguinte transformação. 1 + 4 r 2 = u → d u = 8 r d r . Assim

A S = π ∫ 5 17 u d u 4 = π 6   u 3 2 5 17 = π 6 17 17 - 5 5

Resposta

A S = π 6 17 17 - 5 5

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