Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D = x , y | 1 ≤ x ≤ 3 ,   1 ≤ y ≤ 4 ; ρ x , y = k y 2

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a massa e o centro de massa. Para calcularmos a massa, basta resolvermos a seguinte integral:

m = ∬ D ρ x , y d A

Já o cálculo das coordenadas do centro de massa é dado por:

x - = ∬ D x ρ x , y d A m

y - = ∬ D y ρ x , y d A m

Passo 2

Vamos começar calculando a massa do nosso retângulo. Portanto, temos

m = ∫ 1 3 ∫ 1 4 k y 2 d y d x = ∫ 1 3 k y 3 3 1 4 d x

∫ 1 3 k y 3 3 1 4 d x = ∫ 1 3 64 k - k 3 d x = ∫ 1 3 21 k d x

21 k x 1 3 = 42 k

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das coordenadas do centro de massa. Começando pela coordenada x , temos:

x - = ∬ D x ρ x , y d A m = ∫ 1 3 ∫ 1 4 k x y 2 d y d x 42 k

x - = ∫ 1 3 21 k x d x 42 k = 21 k x 2 2 1 3 42 k = 84 k 42 k = 2

Já para a coordenada y , temos:

y - = ∬ D y ρ x , y d A m = ∫ 1 3 ∫ 1 4 k y 3 d y d x 42 k

y - = ∫ 1 3 k y 4 4 1 4 d x 42 k = ∫ 1 3 64 k - k 4 d x 42 k

y - = ∫ 1 3 255 k 4 d x 42 k = 255 84 = 85 28

Portanto, o centro de massa é dado pelo ponto 2 , 85 28 .

Resposta

Massa: m = 42 k ;

Centro de massa: 2 , 85 28 .

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