Enunciado

Determine a área exata da superfície z = 1 + 2 x + 3 y + 4 y^2 , 1 <= x <= 4 , 0 <= y <= 1 .

Passo 1

Pela equação 3 do capítulo, temos que

A (S) = ∬_D sqrt(1 + ((del z)/(del x))^2 + ((del z)/(del y))^2) d A

Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como

J = (del (x , y , z))/(del (u , v , w)) = d e t [[[(del x)/(del u),(del y)/(del u),(del z)/(del u)],[(del x)/(del v),(del y)/(del v),(del z)/(del v)],[(del x)/(del w),(del y)/(del w),(del z)/(del w)]]]

Onde u , v , w são as coordenadas do novo sistema.

Passo 2

Nossa f (x , y) é definida como

f (x , y) = z = 1 + 2 x + 3 y + 4 y^2

Assim temos que

(del z)/(del x) = 2

e

(del z)/(del y) = 3 + 8 y

Usando coordenadas cilindrícas podemos escrever

1 + ((del z)/(del x))^2 + ((del z)/(del y))^2 = 1 + 4 + 9 + 48 y + 64 y^2 = 64 y^2 + 48 y + 14

A (S) = int_0^4 int_0^1 sqrt(64 y^2 + 48 y + 14) d y d x

Essa agora não é uma integral trivial. Então vamos com calma

A integral

int_gamma sqrt((a x^2 + b x + c)) d x

Pode ser resolvida fazendo

sqrt((a x^2 + b x + c)) = sqrt((4 a c - b^2)/(4 a) + ((b)/(2 sqrt(a)) + sqrt(a) x)^2) d x

Fazendo u = (b)/(2 sqrt(a)) + sqrt(a) x e d u = sqrt(a) x

= (1)/(sqrt(a)) int_gamma sqrt((4 a c - b^2)/(4 a) + u^2) d u

Agora fazendo K = sqrt((4 a c - b^2)/(a)) e s = (2 u)/(k) -> d s = (2)/(k) d u

Teremos

((c)/(sqrt(a)) - (b^2)/(4 a^((3)/(2)))) int_ gamma sqrt(s^2 + 1 ) d s

Eu falei que não seia uma integral fácil.

Fazendo agora

s = tan p -> d s = sec^2 p d p

Então

sqrt(s^2 + 1) = sqrt(tan^2 p + 1) = sec p

Logo resumimos nossa integral a

((c)/(sqrt(a)) - (b^2)/(4 a^((3)/(2)))) int_gamma sec^3 p d p

Por tabela, temos que

int sec^m p d p = (s e n (p) sec^(m - 1) ( p ))/(m - 1) + (m - 2)/(m - 1) int sec^(m - 2) p d p

Assim

= - (b^2 tan p sec p)/(8 a^((3)/(2))) + (c tan p sec p)/(2 sqrt(a)) + ((c)/(2 sqrt(a)) - (b^2)/(8 a^((3)/(2)))) int sec p d p

E temos que

int sec p d p = ln (tan p + sec p)

E despois de muito sofrimento temos que

= = - (b^2 tan p sec p)/(8 a^((3)/(2))) + (c tan p sec p)/(2 sqrt(a)) + ((c)/(2 sqrt(a)) - (b^2)/(8 a^((3)/(2)))) [ln (tan p + sec p)]

Agora fazendo o sofrimento reverso e substituindo todas a transformações feitas, chegamos em

= ((2 a x + b) sqrt(x (a x + b) + c))/(4 a) - (b^2 - 4 a c)/(8 a^((3)/(2))) - ln (2 sqrt(a) sqrt(x (a x + b) + c) + 2 a x + b)

Então teremos que

A (S) = (45)/(8) sqrt(14) + (15)/(16) ln ((11 sqrt(5) + 3 sqrt(70))/(3 sqrt(5) + sqrt(70)))

Seria muito interessante nunca mais tentarmos reproduzir isso novamente =[

Resposta

A (S) = (45)/(8) sqrt(14) + (15)/(16) ln ((11 sqrt(5) + 3 sqrt(70))/(3 sqrt(5) + sqrt(70)))

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