Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Desta forma, se f x ≥ g ( x ) ao longo de um intervalo a , b , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f x = 2 x 3 - x 2 - 5 x e g x = - x 2 + 3 x . Além disto, observe a mudança do comportamento das funções. Entre - 2 , x 0 , f x ≥ g ( x ) e entre o intervalo x 0 , 2 ocorre o contrário. Desta forma, a área da região em cinza é dada por:

A = ∫ - 2 x 0 2 x 3 - x 2 - 5 x - - x 2 + 3 x   d x + ∫ x 0 2 - x 2 + 3 x - 2 x 3 - x 2 - 5 x   d x

A = ∫ - 2 x 0 2 x 3 - 8 x   d x + ∫ x 0 2 - 2 x 3 + 8 x   d x

Observe que é necessário separar em uma soma de integrais devido à mudança no comportamento da imagem das funções.

Passo 3

Estamos quase prontos para resolver a integral e a nossa questão. Só temos um leve problema. Afinal, quem é esse x 0 que aparece nos limites de integração? Ele é a coordenada x do ponto de interseção entre as duas curvas. Antes dele nós tínhamos f x ≥ g ( x ) e depois dele g x ≥ f ( x ) . Portanto, basta igualar as duas funções e resolver a equação. Desta forma, temos:

2 x 3 - x 2 - 5 x = - x 2 + 3 x

2 x 3 - 8 x = 0

2 x ( x 2 - 4 ) = 0

Resolvendo a equação acima, obtemos x 1 = 0 , x 2 = - 2 e x 3 = 2 . Como o ponto x 0 encontra-se “próximo” a origem do sistema de coordenadas, temos que x 0 = 0 . Portanto, a área é dada por:

A = ∫ - 2 0 2 x 3 - 8 x   d x + ∫ 0 2 - 2 x 3 + 8 x   d x

Passo 4

Vamos resolver agora nossa integral.

A = ∫ - 2 0 2 x 3 - 8 x   d x + ∫ 0 2 - 2 x 3 + 8 x   d x

A = 2 4 x 4 - 4 x 2 - 2 0 + - 2 4 x 4 + 4 x 2 0 2

A = 1 2 ⋅ 0 - 4 ⋅ 0 - 1 2 ⋅ 16 - 4 ⋅ 4 + - 1 2 ⋅ 16 + 4 ⋅ 4 - - 1 2 ⋅ 0 + 4 ⋅ 0

A = 0 + 0 - 8 - 16 + - 8 + 16 - 0 + 0

A = 8 + 8 = 16

Resposta

A = 16

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