Enunciado

Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Desta forma, se f (x) >= g ( x ) ao longo de um intervalo [a , b] , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = int_a^b [f (x) - g (x)] d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo [a , b] .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f (x) = 2 x^3 - x^2 - 5 x e g (x) = - x^2 + 3 x . Além disto, observe a mudança do comportamento das funções. Entre [- 2 , x_0] , f (x) >= g ( x ) e entre o intervalo [x_0 , 2] ocorre o contrário. Desta forma, a área da região em cinza é dada por:

A = int_(- 2)^(x_0) (2 x^3 - x^2 - 5 x) - (- x^2 + 3 x) d x + int_(x_0)^2 (- x^2 + 3 x) - (2 x^3 - x^2 - 5 x) d x

A = int_(- 2)^(x_0) 2 x^3 - 8 x d x + int_(x_0)^2 - 2 x^3 + 8 x d x

Observe que é necessário separar em uma soma de integrais devido à mudança no comportamento da imagem das funções.

Passo 3

Estamos quase prontos para resolver a integral e a nossa questão. Só temos um leve problema. Afinal, quem é esse x_0 que aparece nos limites de integração? Ele é a coordenada x do ponto de interseção entre as duas curvas. Antes dele nós tínhamos f (x) >= g ( x ) e depois dele g (x) >= f ( x ) . Portanto, basta igualar as duas funções e resolver a equação. Desta forma, temos:

2 x^3 - x^2 - 5 x = - x^2 + 3 x

2 x^3 - 8 x = 0

2 x ( x^2 - 4 ) = 0

Resolvendo a equação acima, obtemos x_1 = 0 , x_2 = - 2 e x_3 = 2 . Como o ponto x_0 encontra-se “próximo” a origem do sistema de coordenadas, temos que x_0 = 0 . Portanto, a área é dada por:

A = int_(- 2)^0 2 x^3 - 8 x d x + int_0^2 - 2 x^3 + 8 x d x

Passo 4

Vamos resolver agora nossa integral.

A = int_(- 2)^0 2 x^3 - 8 x d x + int_0^2 - 2 x^3 + 8 x d x

A = ([(2)/(4) x^4 - 4 x^2]|_(- 2)^0 + ([- (2)/(4) x^4 + 4 x^2]|_0^2

A = [((1)/(2) * 0 - 4 * 0) - ((1)/(2) * 16 - 4 * 4)] + [(- (1)/(2) * 16 + 4 * 4) - (- (1)/(2) * 0 + 4 * 0)]

A = [(0 + 0) - (8 - 16)] + [(- 8 + 16) - (0 + 0)]

A = 8 + 8 = 16

Resposta

A = 16

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