Enunciado

Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Observe que a região é limitada a esquerda por uma curva g ( y ) e a direita por outra curva f ( y ) , além disto, é limitada inferiormente por y = a e superiormente por y = b . Desta forma, podemos expressar a área desta região a partir da seguinte integral:

A = int_a^b [f (y) - g (y)] d y

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo [a , b] .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A curva f , que limita o nosso intervalo a direita, é obtido através da seguinte equação: x + y = 2 . Se isolarmos o x , obteremos x = f (y) = 2 - y . Já a função g , que limita a nossa região a esquerda, é dada por g (y) = sqrt(y) .

Temos que determinar agora o nosso intervalo de integração. A região é limitada inferiormente pela reta y = 0 . Já o limite superior é dado pela interseção das duas curvas. Desta forma, vamos resolver a seguinte equação:

sqrt(y) = 2 - y

y = 4 - 4 y + y^2

y^2 - 5 y + 4 = 0

Portanto, as únicas soluções são y_1 = 1 e y_2 = 4 . Como pode ser confirmado através da escala, a nossa região é limitada superiormente por y = 1 . Desta forma, a área em cinza pode ser expressa através da seguinte integral:

A = int_0^1 2 - y - sqrt(y) d y

Passo 3

Vamos resolver agora a nossa integral.

A = int_0^1 2 - y - sqrt(y) d y = ([2 y - (y^2)/(2) - (2)/(3) y^(3 // 2)]|_0^1

A = (2 - (1)/(2) - (2)/(3)) - (0 - 0 - 0)

A = (5)/(6)

Resposta

A = (5)/(6)

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