Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Observe que a região é limitada a esquerda por uma curva g ( y ) e a direita por outra curva f ( y ) , além disto, é limitada inferiormente por y = a e superiormente por y = b . Desta forma, podemos expressar a área desta região a partir da seguinte integral:

A = ∫ a b f y - g y   d y

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A curva f , que limita o nosso intervalo a direita, é obtido através da seguinte equação: x + y = 2 . Se isolarmos o x , obteremos x = f y = 2 - y . Já a função g , que limita a nossa região a esquerda, é dada por g y = y .

Temos que determinar agora o nosso intervalo de integração. A região é limitada inferiormente pela reta y = 0 . Já o limite superior é dado pela interseção das duas curvas. Desta forma, vamos resolver a seguinte equação:

y = 2 - y

y = 4 - 4 y + y 2

y 2 - 5 y + 4 = 0

Portanto, as únicas soluções são y 1 = 1 e y 2 = 4 . Como pode ser confirmado através da escala, a nossa região é limitada superiormente por y = 1 . Desta forma, a área em cinza pode ser expressa através da seguinte integral:

A = ∫ 0 1 2 - y - y   d y

Passo 3

Vamos resolver agora a nossa integral.

A = ∫ 0 1 2 - y - y   d y = 2 y - y 2 2 - 2 3 y 3 / 2 0 1

A = 2 - 1 2 - 2 3 - 0 - 0 - 0

A = 5 6

Resposta

A = 5 6

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