Enunciado

Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução

y / x + 6 x + ln ⁡ x - 2 y ' = 0 ; x > 0

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

ln ⁡ x - 2 d y = - ( y / x + 6 x ) d x

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

y / x + 6 x d x + ln ⁡ x - 2 d y = 0

Assim temos que

d d y y / x + 6 x - d d x ln ⁡ x - 2

= 1 x - 1 x = 0

E nossa equação é exata, logo vamos na busca da solução, conhecida como função potencial

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = ( y / x + 6 x )

E

d d y Y x , y = ( ln ⁡ x - 2 )

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ y / x + 6 x d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo?

Y x , y = y ln ⁡ x + 3 x 2 + C ( y )

Se derivarmos, deveríamos obter ( ln ⁡ x - 2 ) , ou seja

d d y Y x , y = d d y y ln ⁡ x + 3 x 2 + C ( y )

= ln ⁡ x + C ' y = ( ln ⁡ x - 2 )

Com

C ' y = - 2

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = - 2 y

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = y ln ⁡ x + 3 x 2 - 2 y + C

Resposta

Y x , y = y ln ⁡ x + 3 x 2 - 2 y + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida 2 x - y + 2 y - x y ' = 0 , y 1 = 3
Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução e xs e ny - 2 ys e nx + e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x y ' = 0
x 2 + y + x + e y d y d x = 0
2s e nys e nx cos ⁡ x + cos ⁡ ys e n 2 x d y d x = 0
d y d x = 3 x 2 - 2 y - y 3 2 x + 3 x y 2