Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - ∞ - 1 e - 2 t d t

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:

∫ - ∞ - 1 e - 2 t d t = lim x → - ∞ ⁡ ∫ x - 1 e - 2 t d t

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição.

u = - 2 t

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - 2   d t →   d t = - d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ e - 2 t d t = ∫ - e u 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ e x d x = e x + C

Vamos aplicar:

∫ e - 2 t d t = ∫ - e u 2 d u = - 1 2 ∫ e u d u = - 1 2 e u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ e - 2 t d t = - 1 2 e u + C = - 1 2 e - 2 t + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ - ∞ - 1 e - 2 t d t = lim x → - ∞ ⁡ ∫ x - 1 e - 2 t d t = lim x → - ∞ ⁡ - 1 2 e - 2 t x - 1 = lim x → - ∞ ⁡ - 1 2 e - 2 - 1 - - 1 2 e - 2 x = lim x → - ∞ ⁡ - 1 2 e 2 + 1 2 e - 2 x = ∞

A integral diverge, pois o limite não existe.

Resposta

A integral diverge.

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Calcule a intefral abaixo sem usar tabela: ∫ 0 2 d x x - 1
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais quanto à cinvergência. ∫ 0 π 2 c o t gθd θ
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais quanto à cinvergência. ∫ 0 π 2 t gθd θ
Calcule a integral abaixo sem usar tabela: ∫ 0 1 x ln ⁡ x d x
Calcule a integral abaixo sem usar tabela: ∫ 0 2 d s 4 - s 2