Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 1 ∞ 1 3 x + 1 2 d x

Passo 1

Olá, meu caro amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos determinar se a integral dada converge ou diverge e iremos calcular ela caso ela convirja.

Para calcular essa integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:

∫ 1 ∞ 1 3 x + 1 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 3 x + 1 2 d x

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa:

a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição.

Temos uma expressão com x no denominador, podemos tentar fazer com que u seja essa expressão, assim:

u = 3 x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 + 0   d x = 3  

d x →   d x = d u 3

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 3 x + 1 2 d x = ∫ 1 3 u 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Vamos aplicar:

∫ 1 3 x + 1 2 d x

= ∫ 1 3 u 2 d u

Retirando a constante:

= 1 3 ∫ u - 2 d u

Realizando a integração:

= 1 3 u - 2 + 1 - 2 + 1 + C

= 1 3 u - 1 - 1 + C

= - 1 3 u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 1 3 x + 1 2 d x = - 1 3 u + C = - 1 3 3 x + 1 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 1 ∞ 1 3 x + 1 2 d x

Aplicando o limite para resolvermos se a função converge ou não:

= lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 3 x + 1 2 d x

= lim t → ∞ ⁡ - 1 3 3 x + 1 1 t

= lim t → ∞ ⁡ - 1 3 3 t + 1 - - 1 3 3.1 + 1

= lim t → ∞ ⁡ - 1 3 3 t + 1 + 1 12

O termo - 1 3 3 t + 1 vai a zero quando t → ∞ :

= 1 1 2

A integral converge, pois o limite existe.

Resposta

Converge e tem valor ∫ 1 ∞ 1 3 x + 1 2 d x = 1 12

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