Enunciado

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f

F x , y , z = 2 x y   i + x 2 + 2 y z j + y 2   k

Passo 1

Vamos comprovar isso pelo rotacional. Se r o t   F ≠ 0 , F não é conservativo, então vamos calcular o rotacional

r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 2 x y x 2 + 2 y z y 2

= ∂ ∂ y y 2 - ∂ ∂ z x 2 + 2 y z i - ∂ ∂ x y 2 - ∂ ∂ z 2 x y j + ∂ ∂ x x 2 + 2 y z - ∂ ∂ y 2 x y k

= 2 y - 2 y i - 0 - 0 j + 2 x - 2 x k

r o t   F = 0

Como o domínio de F é todo o espaço, e r o t   F = 0 então F é conservativo.

Passo 2

Para achar f , vamos integrar 2 x y em relação a x

f = ∫ 2 x y   d x

f = x 2 y + g ( y , z )

E sabemos que

f y = x 2 + 2 y z

f z = y 2

Então derivando a função que encontramos em relação a y e igualando

∂ f ∂ y = x 2 + ∂ g ∂ y

x 2 + ∂ g ∂ y = x 2 + 2 y z

∂ g ∂ y = 2 y z

Integrando temos

g = ∫ 2 y z   d y

g = y 2 z + h ( z )

E temos

f = x 2 y + y 2 z + h ( z )

Derivando em z

∂ f ∂ z = y 2 + ∂ h ∂ z

y 2 + ∂ h ∂ z = y 2

∂ h ∂ z = 0

Como a variação em relação a z é 0 , h é constante

h = C

E a função é

f = x 2 y + y 2 z + C

Resposta

F é conservativo.

f = x 2 y + y 2 z + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f . F x , y , z = 3 z 2 i + cos ⁡ y j + 2 x z k
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f . F x , y , z = y z i + x z j + x y k
3-10. Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .4. F x ,y = y 2 - 2 x i + 2 x y j
É dada uma tabela de valores de uma função f com gradiente contínuo. Determine ∫ C ∇ f ∙ d r , onde C tem equações paramétricas: x = t 2 + 1 ,y = t 3 + t ,0 ≤ t ≤ 1
A figura mostra uma curva C e um mapa de contorno de uma função f cujo gradiente é contínuo. Determine ∫ C ∇ f ∙ d r .