Enunciado

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f

F x , y , z = y cos ⁡ x y   i + x cos ⁡ x y j - sen ⁡ z k

Passo 1

Vamos comprovar isso pelo rotacional. Se r o t   F ≠ 0 , F não é conservativo, então vamos calcular o rotacional

r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y cos ⁡ x y x cos ⁡ x y - sen ⁡ z

= ∂ ∂ y - sen ⁡ z - ∂ ∂ z x cos ⁡ x y i - ∂ ∂ x - sen ⁡ z - ∂ ∂ z y cos ⁡ x y j + ∂ ∂ x x cos ⁡ x y - ∂ ∂ y y cos ⁡ x y k

= 0 - 0 i - 0 - 0 j + cos ⁡ x y - x y sen ⁡ x y - ( cos ⁡ x y - x y sen ⁡ x y ) k

r o t   F = 0

Como o domínio de F é todo o espaço, e r o t   F = 0 então F é conservativo.

Passo 2

Para achar f , vamos integrar y cos ⁡ x y em relação a x

f = ∫ y cos ⁡ x y   d x

f = sen ⁡ x y + g ( y , z )

E sabemos que

f y = x cos ⁡ x y

f z = - sen ⁡ z

Então derivando a função que encontramos em relação a y e igualando

∂ f ∂ y = x cos ⁡ x y + ∂ g ∂ y

x cos ⁡ x y + ∂ g ∂ y = x cos ⁡ x y

∂ g ∂ y = 0

Como a variação em relação a y é 0 , g só depende de z

g = g ( z )

E temos

f = sen ⁡ x y + g ( z )

Derivando em z

∂ f ∂ z = ∂ g ∂ z

∂ g ∂ z = - sen ⁡ z

Integrando

g = - ∫ sen ⁡ z   d z

g = cos ⁡ z + C

E a função é

f = sen ⁡ x y + cos ⁡ z + C

Resposta

F é conservativo.

f = sen ⁡ x y + cos ⁡ z + C

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