Enunciado

Encontrar uma função potencial para o campo f → , no domínio especificado:

a) f → x ,   y ,   z = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 i → + y x 2 + y 2 + z 2 3 2 j → + z x 2 + y 2 + z 2 3 2 k → em qualquer domínio simplesmente conexo que não contém a origem.

Passo 1

Queremos encontrar o a função potencial do campo vetorial conservativo. Para isso temos que resolver o seguinte sistema de equações:

∂ f ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ f ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ f ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Passo 2

Usamos a primeira equação e a integramos em função de x , assim temos:

∂ f = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ x

f = ∫ x x 2 + y 2 + z 2 3 2 d x + a y , z

f = ∫ x x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 d x + a y , z

Podemos resolver a integral por substituição simples:

u = x 2 + y 2 + z 2

Logo

d u = 2 x d x

Substituindo na integral temos:

f = ∫ u 2 - 3 2 d u

f = 1 2 u - 3 2 + 1 - 3 2 + 1

f = 1 2 u - 1 2 - 1 2

f = - u - 1 2

Agora voltamos com a substituição. Assim temos:

f = - x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 + a y , z

Agora derivamos a f encontrada em função de y e comparamos com a segunda equação.

∂ f ∂ y = - - 1 2 2 y x 2 + y 2 + z 2 3 2 + d a d y

∂ f ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2 3 2 + d a d y

Comparando com a segunda equação temos:

y x 2 + y 2 + z 2 3 2 + d a d y = y x 2 + y 2 + z 2 3 2

d a d y = 0

Podemos perceber que a ( y , z ) só depende de z , assim temos:

a = b z

Temos que f x , y , z = - x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 + b z

Agora derivamos a f encontrada em função de z e comparamos com a terceira equação.

∂ f ∂ z = - - 1 2 2 z x 2 + y 2 + z 2 3 2 + d b d z

∂ f ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2 3 2 + d b d z

Comparando com a terceira equação temos:

z x 2 + y 2 + z 2 3 2 + d b d z = z x 2 + y 2 + z 2 3 2

d b d z = 0

Podemos perceber que b z não depende de z , assim temos:

b = c

Assim temos que a função potencia f x , y , z é :

f x , y , z = - x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 + c

Resposta

f x , y , z = - 1 x 2 + y 2 + z 2 + c

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