Enunciado

Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.

2 x y z = 3 ,         e m     1 2 , 1 ,   3

Passo 1

A questão pede as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada. Para achar essas equações, precisamos do vetor normal ao plano e o vetor diretor da reta normal.

Vamos fazer o seguinte: tomares a superfície dada como uma superfície de nível da função

f x , y , z = 2 x y z - 3

Assim, o vetor gradiente é perpendicular a essa superfície e corresponderá tanto ao vetor normal do plano tangente como ao vetor diretor da reta normal.

Calculando o gradiente neste problema:

∇ f x , y , z = ( 2 y z , 2 x z , 2 x y )

Assim, no ponto em questão, temos que

∇ f 1 2 , 1 ,   3 = ( 6 ,   3 ,   1 )

Passo 2

Para a equação do plano, vamos usar

x - x 0 ,   y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Assim,

x - 1 2 ,   y - 1 , z - 3 ⋅ 6 ,   3 ,   1 = 0

Portanto,

6 x - 3 + 3 y - 3 + z - 3 = 0

Logo,

6 x + 3 y + z = 9

Passo 3

Já para a reta normal, temos que

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + λ n →

Portanto,

x , y , z = 1 2 , 1 ,   3 + λ 6 ,   3 ,   1

Resposta

6 x + 3 y + z = 9

x , y , z = 1 2 , 1 ,   3 + λ 6 ,   3 ,   1

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