Enunciado

É dada uma curva γ que passa pelo ponto γ t 0 = ( 1,3 ) e cuja imagem está contida na curva de nível x 2 + y 2 = 10 . Suponha que γ ' t 0 ≠ 0 → .

a) Determine a equação da reta tangente a γ no ponto ( 1,3 ) .

b) Determine uma curva γ t satisfazendo as condições acima.

Passo 1

A questão pede para determinar a reta tangente a curva γ no ponto ( 1,3 ) . Uma informação importante é que a imagem da curva está contida na circunferência de equação x 2 + y 2 = 10 . Desta forma, o que precisamos achar é a equação da reta tangente à essa circunferência no ponto ( 1,3 ) .

Poderíamos usar derivação implícita para achar a derivada da curva e assim tirar o coeficiente angular, mas essa é a abordagem que usamos em cálculo 1. Nesta seção foi apresentado um método usando o vetor gradiente.

Sabemos que o gradiente de uma função de duas variáveis é ortogonal as curvas de nível. Assim, consideremos a função f x , y = x 2 + y 2 - 10 , de modo que a circunferência é a curva de nível 0 dessa função. Calculando o gradiente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( 2 x ,   2 y )

Usando x = 1 e y = 3 :

∇ f 1,3 = ( 2,6 )

Passo 2

O vetor gradiente é ortogonal à curva de nível, mas queremos o vetor tangente. O que fazer? Devemos achar um vetor que ( a ,   b ) que será perpendicular ao gradiente. Para isso, o produto escalar deles deve ser zero:

a ,   b ⋅ 2,6 = 0

Portanto,

2 a + 6 b = 0 ⇒ a = - 3 b

Como só estamos interessados na direção da reta tangente quando procuramos o vetor diretor da reta tangente, vamos tomar b = 1 , então teremos que a = - 3 de modo que o vetor diretor será:

u → = ( - 3,1 )

Sabemos que a equação da reta que passa pelo ponto x 0 , y 0 com vetor diretor u → é dada por:

x , y = x 0 , y 0 + λ u →

Assim, a equação pedida no item (a) será

x , y = 1,3 + λ ( - 3,1 )

Passo 3

No item (b) devemos dar uma parametrização para a curva. Note que

x 2 + y 2 = 10 ⇒ x 2 10 + y 2 10 = 1

Ajeitando isso dai, ficamos com

x 10 2 + y 10 2 = 1

Agora temos algo parecido como uma circunferência, lembra?

a 2 + b 2 = r 2

Nesse caso temos que r = 1 , a = x 10 e b = y 10  

Então, como temos uma circunferência vamos pensar nas nossas coordenadas polares!

a = c o s t                     e                   b = s e n t

x 10 = cos ⁡ t           e         y 10 = s e n   t

Portanto,

γ t = 10 cos ⁡ t ,   10   s e n   t

*Cuidado que as respostas desse problema não são únicas hein!

Resposta

a) x , y = 1,3 + λ ( - 3,1 )

b) γ t = 10 cos ⁡ t ,   10   s e n   t

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