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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart - 13.4 - 37

Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

r ( t ) = 3 t - t 3 i + 3 t 2 j

Passo 1

Show de bola, galera. Para calcularmos essas componentes, não tem mistério.

Precisamos calcular apenas dois vetores: r ' t e r ' ' t . Uma vez calculado isso, as contas sairão de maneira automática.

Para não restar mais dúvidas quanto a esses cálculos, vamos te dar um macete pra você saber qual fórmula usar para a aceleração tangencial e qual usar para a aceleração normal, beleza?

As fórmulas têm essa cara aqui:

a ? = r ' t   ?   r ' ' t r ' t

Deixamos aquelas interrogações de propósito mesmo! Só para nos confortarmos com a ideia de que as fórmulas têm aquela cara mesmo....Beleza? Agora atenção, lá vem o macete....

Vamos imaginar aquela “cruzinha” que simboliza o produto vetorial...Isso mesmo, é a × mesmo! Essa cruzinha não é formada por dois segmentos de reta que formam ângulos de 90 ° ?

Ou seja, esses segmentos de reta são normais entre si...Opa!!! Brotou a palavra normal, é isso mesmo?!?! Então, o macete é justamente esse!

Para a componente normal da aceleração, vamos usar a cruzinha do produto vetorial (e colocaremos um módulo no numerador):

a ? = r ' t   ?   r ' ' t r ' t →     ∴     a N = r ' t × r ' ' t r ' t

Já para a aceleração tangencial, usaremos o produto interno no lugar da interrogação:

a ? = r ' t   ?   r ' ' t r ' t →     ∴     a T = r ' t ⋅ r ' ' t r ' t

Shooow!!! Agora partiu fazer todas as contas!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular primeiro o vetor r ' t :

r ' t = d d t r t = 3 - 3 t 2 i + 6 t j

Calculemos agora r ' t :

r ' t = 3 - 3 t 2 2 + 6 t 2 = 9 - 18 t 2 + 9 t 4 + 36 t 2 = 9 + 18 t 2 + 9 t 4 ⏟ 3 + 3 t 2 2 = 3 + 3 t 2

Vamos calcular agora o vetor r ' ' t :

r ' ' t = d d t r ' t = - 6 t i + 6 j

Vamos calcular os seguintes produtos agora:

r ' t ⋅ r ' ' t = 3 - 3 t 2 - 6 t + 6 t 6 = 18 t + 18 t 3 = 18 t 1 + t 2

r ' t × r ' ' t = 3 - 3 t 2 6 k - 6 t - 6 t k = 18 + 18 t 2 k = 18 1 + t 2 k

Por último, só falta calcular:

r ' t × r ' ' t = 18 1 + t 2 k = 18 1 + t 2 2 = 18 1 + t 2

Passo 3

Agora só falta aplicarmos as fórmulas para as componentes da aceleração:

a N = r ' t × r ' ' t r ' t = 18 1 + t 2 3 1 + t 2 = 6

a T = r ' t ⋅ r ' ' t r ' t = 18 t 1 + t 2 3 1 + t 2 = 6 t

Resposta

a N = 6   e   a T = 6 t

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