Enunciado

A visão do nó de trevo apresentada na Figura 8 é correta, mas não muito reveladora. Use as equações paramétricas

x = 2 + cos ⁡ 1,5 t cos ⁡ t

y = 2 + cos ⁡ 1,5 t   s e n   t

z = s e n 1,5 t

para esboçar à mão a curva vista de cima, deixando pequenas falhas para indicar os pontos onde a curva se sobrepõe. Comece mostrando que sua projeção sobre o plano x y tem coordenadas polares r = 2 + cos ⁡ 1,5 t e θ = t , de forma que r varia entre 1 e 3 .

Quando você terminar o esboço à mão livre, utilize um computador para traçar a curva com o observador vendo de cima e compare-a ao seu desenho. Trace a curva sob outros pontos de vista. Você alcançará melhor resultado se traçar um tubo de raio 0,2 em torno da curva. (Utilize o comando tubeplot no Maple.)

Passo 1

Bom, galera, a projeção da curva no plano x y é dada pelas equações paramétricas:

x = 2 + cos ⁡ 1,5 t cos ⁡ t

y = 2 + cos ⁡ 1,5 t   s e n   t

Se a gente converter para coordenadas polares, teremos:

r 2 = x 2 + y 2 = [ 2 + cos ⁡ 1,5 t ) cos ⁡ t 2 + 2 + cos ⁡ 1,5 t   s e n   t 2 = 2 + cos ⁡ 1,5 t 2 cos 2 ⁡ t + s e n 2   t = 2 + cos ⁡ 1,5 t 2

Então,

r = 2 + cos ⁡ ( 1,5 t )

Passo 2

Além disso, teremos:

t g   θ = y x = 2 + cos ⁡ 1,5 t   s e n   t 2 + cos ⁡ 1,5 t cos ⁡ t = t g   t

Então,

θ = t

Portanto, a equação polar da curva é r = 2 + cos ⁡ 1,5 θ , e r vai variar entre 1 e 3 .

Se tentarmos fazer um esboço dessa curva, ficará assim:

Passo 3

Nós podemos determinar como a curva passa sobre si mesma investigando os valores máximos e mínimos de z . Já que z = s e n 1,5 t , z será máximo quando

s e n   1,5 t = 1 ⇒ 1,5 t = π 2 ,       5 π 2       o u       9 π 2 ⇒

t = π 3   ,       5 π 3         o u         3 π

E z será mínimo quando:

s e n   1,5 t = - 1 ⇒ 1,5 t = 3 π 2 ,       7 π 2       o u       11 π 2 ⇒

t = π   ,       7 π 3         o u       11 π 3

Mas note que esses são precisamente os valores que nos dão:

cos ⁡ 1,5 t = 0 ⇒ r = 2

Então z tem valor máximo e mínimo quando a projeção está entre r = 1 e r = 3 .

Passo 4

Agora, usando um computador, vamos traçar a curva sob várias perspectivas:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Caracterizando o movimento circularUma partícula se move no plano de forma que seus vetores de velocidade e posição são sempre ortogonais. Mostre que a partícula se move em um círculo centrado na orig
Suponha que r ( t ) = e t cos ⁡ t i + e t s e nt j . Mostre que o ângulo entre r e a nunca muda. Qual é o ângulo?
Uma partícula se move ao redor de um círculo unitário no plano xy. Sua posição no tempo t é r = x i + y j , em que x e y são funções deriváveis de t. Encontre dy/dt se v ∙ i = y . O movimento é em sen
A posição de uma partícula no plano no tempo t é r = 1 1 + t 2 i + t 1 + t 2 j Encontre o módulo de velocidade mais alto da partícula.
Lançamento de pesoUm peso sai da mão do arremessador a 6,5 pés acima do solo a um ângulo de 45º e a 44 pés/s. Onde o peso estará 3 segundos depois?