Enunciado

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.

f x , y = x y 2       D = x , y x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   x 2 + y 2 ≤ 3 }

Passo 1

Pra achar os valores de máximo e mínimos, precisamos ver onde as derivadas zeram.

Vamos fazer as derivadas parciais então...

f x = y 2

f y = 2 x y

Essas derivadas só vão ser zero se y = 0   e daí. Então 0,0   é o único ponto da função em   D .

A região D é um círculo, de raio 3 então, os pontos a serem considerados da fronteira são:

0 , 3 ,   ( 3 ,   0 )

E o ( 0,0 ) que já falamos.

Passo 2

Vamos ver os valores ao longo de D , em que x 2 + y 2 = 3 :

Temos que

y 2 = 3 - x 2

y = 3 - x 2

Fazendo f ( x , 3 - x 2 )   encontramos:

f x , 3 - x 2 = 3 x - x 3

A derivada disso é:

3 - 3 x 2

E dá zero quando:

3 - 3 x 2 = 0

x = 1

(lembrando que x   e   y   são maiores que zero)

E daí, y = 2 .

Passo 3

Vamos testar o valor da função nesses pontos então:

  • f 0,0 = 0
  • f 0 , 3 = 0
  • f 3 , 0 = 0
  • f 1 , 2 = 2

Vemos então que temos pontos de mínimo absoluto em 0,0 ,   ( 0 , 3 ) ( 3 , 0 ) , e um máximo absoluto em ( 1 , 2 ) que é 2 .

Resposta

Valor máximo: 2

Valor mínimo: 0

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