Enunciado

4-6. Determine a derivada direcional de   f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ .

4. f x ,   y = x y 3 - x ² ,   1 ,   2 ,   θ = π 3

Passo 1

Para calcularmos a derivada direcional de f no ponto dado, isto é, D u f ( x ,   y ) , devemos utilizar a seguinte fórmula:

D u f x ,   y = f x x ,   y cos ⁡ θ + f y x ,   y s e n   θ

E aqui vale ressaltar que f x e f y são as derivadas da função f que foi dada em relação a x e a y , respectivamente. Já que falamos em derivadas, vamos encontrar nossas derivadas de uma vez logo, saca só:

f x = y 3 - 2 x

f y = 3 x y ²

O ponto que nos foi dado é ( 1 ,   2 ) , então:

f x 1 ,   2 = 2 3 - 2.1 = 6

f y 1 ,   2 = 3.1 . 2 2 = 12

Passo 2

Agora que já encontramos a derivada no ponto, vamos aplicar na fórmula da derivada direcional que escrevemos no passo 1, se liga:

D u f 1 ,   2 = 6 . cos ⁡ π 3 + 12 . s e n   π 3

D u f 1 ,   2 = 6.1 2 + 12 . 3 2

∴ D u f 1 ,   2 = 3 + 6 3

Resposta

D u f 1 ,   2 = 3 + 6 3

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