Enunciado

4-6. Determine a derivada direcional de   f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ .

6. f x ,   y = 2 x + 3 y ,   3 ,   1 ,   θ = - π 6

Passo 1

Para calcularmos a derivada direcional de f no ponto dado, isto é, D u f ( x ,   y ) , devemos utilizar a seguinte fórmula:

D u f x ,   y = f x x ,   y cos ⁡ θ + f y x ,   y s e n   θ

E aqui vale ressaltar que f x e f y são as derivadas da função f que foi dada em relação a x e a y , respectivamente. Já que falamos em derivadas, vamos encontrar nossas derivadas de uma vez logo, saca só:

f x = 1 2 2 x + 3 y - 1 2 . 2 = 1 2 x + 3 y

f y = 1 2 2 x + 3 y - 1 2 . 3 = 3 2 2 x + 3 y

O ponto que nos foi dado é ( 3 ,   1 ) , então:

f x 3 ,   1 = 1 2 . 3 + 3 . 1 = 1 3

f y 3 ,   1 = 3 2 2 . 3 + 3 . 1 = 1 2

Passo 2

Agora que já encontramos a derivada no ponto, vamos aplicar na fórmula da derivada direcional que escrevemos no passo 1, se liga:

D u f 3 ,   1 = 1 3 . cos ⁡ - π 6 + 1 2 . s e n - π 6

D u f 3 ,   1 = 1 3 . 3 2 - 1 2 . 1 2

∴ D u f 3 ,   1 = 3 6 - 1 4

Resposta

D u f 3 ,   1 = 3 6 - 1 4

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