Enunciado

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → .

f x , y = e x   s e n   y ,                     0 , π 3 ,               v → = ( - 6 ,   8 )

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) na direção do vetor v → .

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → unitário qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Neste caso, v → não está normalizado:

v → = 36 + 64 = 10

Logo,

u → = v → v → = - 6 10 , 8 10 = - 3 5 , 4 5

Passo 2

Tomando o gradiente de f :

∇ f x ,   y = e x   s e n   y ,   e x cos ⁡ y

Assim, com a ,   b = ( 0 ,   π / 3 ) :

∇ f 0 , π 3 = 3 2 , 1 2

Portanto,

D u f 0 , π 3 = 3 2 , 1 2 ⋅ - 3 5 , 4 5

Logo,

D u f 0 , π 3 = 4 - 3 3 10

Resposta

D u f 0 , π 3 = 4 - 3 3 10

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