Enunciado

Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto P 0 na direção do vetor u ,   nos seguintes casos:

3- f x ,   y ,   z = ln ⁡ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ,             P 0 = 1,2 ,   3 ,               u = ( 1 ,   - 1 ,   - 1 )

Passo 1

Galerinha, para resolver esse exercício temos que usar isso aqui:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 × u u

Mas afinal, o que isso quer dizer ???

O produto escalar de ∇ f P 0 pelo vetor unitário na direção e sentido do vetor u , nos dá a nossa derivada direcional. Dito isso, podemos começar a questão!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais em 1,1 :

∂ f ∂ x 1,2 ,   3 = 2 x x 2 + y 2 + z 2 = 2 14

∂ f ∂ y 1,2 ,   3 = 2 y x 2 + y 2 + z 2 = 4 14

∂ f ∂ z 1,2 ,   3 = 2 z x 2 + y 2 + z 2 = 6 14

Assim,

∇ f P 0 = ( 2 14 , 4 14 , 6 14 )

Passo 3

Como o nosso vetor não é unitário temos que dividi-lo pela sua norma. Dessa forma,

u = ( 1 2 + ( - 1 ) 2 + - 1 2 ) = 3

u u = 1 3 , - 1 3 ,   - 1 3

Pra finalizarmos,

∂ f ∂ u P 0 = ( 2 14 , 4 14 , 6 14 ) × 1 3 , - 1 3 ,   - 1 3 = - 8 14 3 = - 4 3 21

Resposta

- 4 3 21

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