Enunciado

11. As superfícies de equações:

F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3 = 0   e   G x , y , z = x 2 + 2 x + y 2 - 4 = 0

têm como interseção uma curva C que passa pelo ponto P 0 = ( 1,1 , 1 ) .

b) Encontre a direção na qual a taxa de variação de G em P 0 é máxima. Qual é essa taxa?

Passo 1

O vetor gradiente é o vetor que aponta da direção onde a função cresce mais rapidamente, isto é, aponta na direção onde a função obtém maior crescimento. Desta forma, precisamos apenas calcular o vetor gradiente de G .

∇ G = ( 2 x + 2,2 y , 0 )

Agora apenas calculamos em P 0 = 1.1 . 1 . Daí temos:

v = ( 4,2 , 0 ) = 2 . ( 2,1 , 0 )

*Vamos excluir o escalar e utilizar v = ( 2,1 , 0 ) para facilitar as contas.

Agora para encontrar a taxa de variação máxima, vamos calcular a derivada direcional na direção de v = 2 , 1,0 :

∂ F ∂ v = ∇ F P 0   . v v = 2.1 + 2,2.1,0   . 2,1 , 0 5 = 1 5 8 + 2 = 10 5 = 10 5 5 = 2 5

Resposta

Na direção de v = ( 2,1 , 0 ) e a taxa máxima é 2 √ 5 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

a) Se u → = ( a ,b ) é uma unidade vetorial e f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, mostre que D u 2 f = f x x a 2 + 2 f x y a b + f y y b 2 b) Determine a derivada direcional de f x ,
Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicado pelo ângulo θ . f x , y = e x cos ⁡ y , 0 ,0 ,θ = π / 4
A segunda derivada direcional de f ( x , y ) é D u 2 f x , y = D u D u f x , y Se f x , y = x 3 + 5 x 2 y + y 3 e u → = 3 5 , 4 5 , calcule D u 2 f ( 2 ,1 ) .
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . f x , y = x x 2 + y 2 , 1 ,2 ,v → = ( 3 ,5 )
Mostre que a soma das interseções x , y e z de qualquer plano tangente à superfície x + y + z = c é uma constante.