Enunciado

Determine a derivada da função y = x ^2 * e ^(- 2 // x)

Passo 1

Primeiro aplicamos a regra da multiplicação:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (x ^2) * e ^(- 2 // x) + x ^2 * (d)/(d x) (e ^(- 2 // x))

Passo 2

A primeira derivada podemos resolver usando a regra da potência:

(d)/(d x) (x ^2) = 2 * x

Passo 3

A segunda derivada podemos resolver usando a derivada da exponencial, que é a exponencial vezes a derivada do seu expoente:

(d)/(d x) (e ^(- 2 // x)) = e ^(- 2 // x) * (d)/(d x) (- (2)/(x))

Passo 4

Podemos resolver essa última derivada a partir da regra da potência:

(d)/(d x) (e ^(- 2 // x)) = e ^(- 2 // x) * (d)/(d x) (- (2)/(x)) = - 2 * e ^(- 2 // x) * (d)/(d x) (x ^(- 1)) = - 2 * e ^(- 2 // x) * (- 1) * x ^(- 1 - 1) = 2 * e ^(- 2 // x) * x ^(- 2)

Resposta

Logo, simplificando os termos semelhantes e pondo o termo exponencial em evidência teremos:

(d y)/(d x) = 2 x * e ^(- 2 // x) + 2 e ^(- 2 // x) = e ^(- 2 // x) ( 2 x + 1 )

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Seja g: R → R uma função diferenciável tal que g 2 = 2 e g ' 2 = 2 . Calcule H ' 2 , sendo H dada por H x = g g g x .
Derive.f) y = e tan ⁡ x 2
Seja y = 4 x , onde x = x t é uma função derivável num intervalo aberto I . Suponha que, para todo t em I , x t ≠ 0 e d x d t = β , β constante. Verifique que d 2 y d t 2 = 8 β 2 x 3
Seja g: R → R diferenciável tal que g 1 = 2 e g ' 1 = 3 . Calcule f ' 0 , sendo f dada por f x = e x g 3 x + 1 .
Seja y = 1 x 2 + 1 , onde x = x t é uma função definida e derivável em R . Verifique que, para todo t real, d y d t = - 2 x y 2 d x d t