Determine a derivada da função y = (x + 2)^(x + 2)

Passo 1

Como temos o termo a ser derivado na base e no expoente, fica mais fácil derivarmos se usarmos a relação a b = e b   l n   a . Aplicando essa relação, temos:

d y d x = d d x ( ( x + 2 ) x + 2 ) = d d x ( e ( x + 2 )   l n   ( x + 2 ) )

Passo 2

Agora para derivar a exponencial basta fazer a exponencial vezes a derivada do seu argumento.

d d x ( e ( x + 2 )   l n   ( x + 2 ) ) = e ( x + 2 )   l n   ( x + 2 )   ⋅ d d x ( ( x + 2 ) l n   ( x + 2 ) ) = ( x + 2 ) x + 2   ⋅ d d x ( ( x + 2 ) l n   ( x + 2 ) )

Passo 3

Para a derivada que falta, usamos a regra do produto:

d d x ( ( x + 2 ) l n   ( x + 2 ) ) = d d x ( x + 2 ) ⋅ l n   ( x + 2 ) + ( x + 2 ) ⋅ d d x ( l n   ( x + 2 ) )

Passo 4

A primeira derivada será:

d d x ( x + 2 ) = d d x ( x ) + d d x ( 2 ) = x

Passo 5

A segunda derivada será:

d d x ( l n   ( x + 2 ) ) = 1 x + 2

Resposta

Substituindo as derivadas:

d y d x = ( x + 2 ) x + 2 d d x ( x + 2 ) ⋅ l n   ( x + 2 ) + ( x + 2 ) ⋅ d d x ( l n   ( x + 2 ) ) = ( x + 2 ) x + 2 x ⋅ l n   ( x + 2 ) + ( x + 2 ) ⋅ 1 x + 2

d y d x = ( x + 2 ) x + 2 x ⋅ l n ( x + 2 ) + 1

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