Calcule a derivada segunda.

y = e^x / x

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

h x g x ' = h ' x g x - h x g ' x g x 2

Temos que:

h x = e x

e

g x = x

Vamos agora só montar na fórmula:

y ' = d y d x = d d x e x x = e x x ' = e x ' ⋅ x - e x ⋅ x ' x 2

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial:

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a da função exponencial:

h ' x = e x ' = e x ⋅ x ' = e x ⋅ x 1 - 1 = e x ⋅ x 0 = e x ⋅ 1 = e x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra do polinômio:

g ' x = x ' = x 1 - 1 = x 0 = 1

Passo 3

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

y ' = d y d x = e x x ' = e x ' ⋅ x - e x ⋅ x ' x 2 = e x ⋅ x - e x ⋅ 1 x 2 = e x x - e x x 2

Passo 4

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, derivando agora y ' :

y ' ' = y ' ' = d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d d x e x x - e x x 2 ' = e x x - e x ' ⋅ x 2 - e x x - e x ⋅ x 2 ' x 2 2

Entretanto vamos ter que usar a regra do produto para derivar e x x ' :

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = e x

e

g x = x

Assim:

e x x ' = h ' x g x + g ' x h x = e x ' ⋅ x + x ' ⋅ e x = e x ⋅ x + 1 ⋅ e x = x e x + e x

Passo 5

Vamos agora substituir isso em y ' ' :

y ' ' = e x x - e x ' ⋅ x 2 - e x x - e x ⋅ x 2 ' x 2 2 = x e x + e x - e x ⋅ x 2 - e x x - e x ⋅ 2 x x 4 = x e x ⋅ x 2 - 2 x 2 e x + 2 x e x x 4 = x 2 e x - 2 x e x + 2 e x x 3

Resposta

y ' ' = x 2 e x - 2 x e x + 2 e x x 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados