Calcule a derivada segunda.

y = x \* e^(1/x)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e a regra da função exponencial, além da regra da cadeia para achar y ' :

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra do produto:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = x

e

g x = e 1 x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = x e 1 x ' = f ' x g x + g ' x f x = x ' e 1 x + e 1 x ' x = x 1 - 1 e 1 x + e 1 x 1 x ' x = x 0 e 1 x + x e 1 x - x - 1 - 1 = 1 e 1 x + x e 1 x - x - 2 = e 1 x + x e 1 x - 1 x 2 = e 1 x - e 1 x x

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, mas agora com a regra da divisão, derivando agora y ' :

y ' ' = y ' ' = e 1 x - e 1 x x ' = e 1 x - e 1 x x '

Na regra da divisão temos:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = e 1 x

e

g x = x

Assim:

y ' ' = e 1 x - e 1 x x ' = e 1 x 1 x ' - e 1 x ' x - e 1 x x ' x 2 = e 1 x - x - 1 - 1 - e 1 x 1 x ' x - e 1 x x 1 - 1 x 2 = e 1 x - x - 2 - x e 1 x - x - 1 - 1 - e 1 x x 0 x 2 = - e 1 x x 2 - x e 1 x - 1 x 2 - e 1 x x 2 = - e 1 x x 2 - - e 1 x x - e 1 x x 2 = - e 1 x x 2 + e 1 x x + e 1 x x 2 = - e 1 x + e 1 x x + e 1 x x 2 = e 1 x x x 2 = e 1 x x ⋅ 1 x 2 = e 1 x x 3

Resposta

y ' ' = e 1 x x 3

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