Enunciado

Determine as derivadas parciais indicadas

f (x , t) = x^2 e^(- c t)

f_t t t e f_t x x

Passo 1

Calcular derivadas parciais de ordem superior envolve muita atenção, uma vez que devemos derivar algumas vezes as funções, fixando determinadas variáveis. Todavia, a técnica de derivação é a mesma que se utiliza para a derivada parcial de primeira ordem. Além disso, é importante saber a notação para identificar a sequência na derivação.

Veja: f_x y = (del ² f)/(del y del x) : Derivamos primeiro em relação a x e, em seguida, em relação a y.

Passo 2

Seja a função f (x , t) = x ² e^(- e t)

Devemos determinar f_t t t e f_t x x

Para determinar f_t t t , devemos obter, sucessivamente, f_t 🡪 f_t t 🡪 f_t t t

f_t = x ² e^(- c t) . (- c) = - c . x ² e^(- c t)

f_t t = c^2 x^2 e^(- c t)

f_t t t = - c^3 x^2 e^(- c t)

Passo 3

Para determinar f_t x x , devemos obter, sucessivamente, f_t 🡪 f_t x 🡪 f_t x x

f_t = x ² e^(- c t) . (- c) = - c . x^2 . e^(- c t)

f_t x = - c . (2 x) e^(- c t) = - 2 c . x . e^(- c t)

f_t x x = - 2 c . e^(- c t)

Resposta

f_t t t = - c^3 x^2 e^(- c t)

f_t x x = - 2 c . e^(- c t)

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