Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

S u , v , w = u a r c t g ( v w )

Passo 1

Derivada parcial é aquela derivada que consideramos apenas uma variável e as outras ficam em ‘stand by’, esperando a sua vez de ser derivada. Como nossa função tem três variáveis, teremos três derivadas parciais.

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ S / ∂ u . Considerando v e w constantes, a derivada em u é bem tranquila:

∂ S ∂ u = a r c t g ( v w )

Passo 3

Agora considerando u e w constantes teremos ∂ S / ∂ v :

∂ S ∂ v = u . 1 1 - v w 2 . w = u w 1 - v 2 w

Passo 4

Por fim, considerando v e u constantes teremos ∂ S / ∂ w :

∂ S ∂ w = u . 1 1 - v w 2 .   - v 2 w = - u v 2 w ( 1 - v 2 w )

Resposta

∂ S ∂ u = a r c t g ( v w )

∂ S ∂ v = u w 1 - v 2 w

∂ S ∂ w = - u v 2 w ( 1 - v 2 w )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a equação g ( x , y , z ) = 0 determina z como função derivável das variáveis independentes x e y e que g z ≠ 0 . Mostre que ∂ z ∂ y x = - ∂ g / ∂ y ∂ g / ∂ z .
Suponha que x 2 + y 2 = r 2 e x = r c o s ⁡ θ , como nas coordenadas polares. Encontre ∂ x ∂ r θ e ∂ r ∂ x y
Encontrea. ∂ w ∂ x y b. ∂ w ∂ z y no ponto ( x , y , z ) = ( 0,1 , π ) se w = x 2 + y 2 + z 2ey s e n ⁡ z + z s e n ⁡ x = 0
Nos Exercícios 1-3, comece desenhando um diagrama que mostreas relações entre as variáveis.Se w = x 2 + y 2 + z 2 e z = x 2 + y 2 , encontrea. ∂ w ∂ y z b. ∂ w ∂ z x c. ∂ w ∂ z y .
Encontre ( ∂ u / ∂ y ) x no ponto ( u , v ) = ( 2 , 1 ) , se x = u 2 + v 2 e y = u v .