Enunciado

Determine a equação do plano.

O plano que passa pela reta de intersecção dos planos x - z = 1 e y + 2 z = 3 e é perpendicular ao plano x + y - 2 z = 1 .

Passo 1

A equação de um plano é da forma:

a x + b y + c z = d

Onde ( a , b , c ) é vetor normal ao plano.

A gente ainda não tem o vetor, então vamos analisar o que nos deram.

O plano passa pela reta de interseção dos dois planos ali, vamos fazer essa interseção então:

x - z = 1 y + 2 z = 3

A gente tem que :

x = 1 + z

y = 3 - 2 z

Vamos fazer z = 0   e   z = 1 , achamos os pontos:

1,3 , 0   e   ( 2,1 , 1 )

Vamos escrever as equações paramétricas da reta que passa por esses pontos então...

Passo 2

Temos o vetor:

v = ( 2 - 1 ,   1 - 3,1 - 0 )

v = ( 1 , - 2,1 )

Temos a reta então:

x = 1 + t

y = 3 - 2 t

z = t

Passo 3

O plano que queremos é paralelo aos vetores ( 1,1 , - 2 ) e ( 1 , - 2,1 ) .

Pra achar um vetor normal, vamos fazer o produto vetorial deles.

det ⁡ i j k 1 1 - 2 1 - 2 1 = i 1 - 2 - 2 1 - j 1 - 2 1 1 + k 1 1 1 - 2

- 3 i - 3 j - 3 k

Um vetor normal ao plano então é:

- 3 , - 3 , - 3

Podemos usar um múltiplo, tipo ( 1,1 , 1 ) pra ficar mais bonitinho...

O plano então é da forma:

x + y + z = d

Passo 4

Agora é só substituir um ponto nessa equação para achar o d ...

1 , 3,0 → x + y + z = d

1 + 3 + 0 = d

d = 4

Então o plano é:

x + y + z = 4

Prontinho😄

Resposta

x + y + z = 4

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Faça um esboço dos seguintes planos: (a): 2 x + 3 y + 5 z - 1 = 0
Faça um esboço dos seguintes planos: (b): x - 2 y + 4 z = 0
Faça um esboço dos seguintes planos: (e): 3 x + 2 y - 1 = 0
Faça um esboço dos seguintes planos: (d): 2 x + 3 z - 1 = 0
Faça um esboço dos seguintes planos: (g): 3 z - 2 = 0