Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.9 - Ex. 32
Utilize coordenadas esféricas.
Seja um hemisfério sólido de raio cuja densidade cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância ao centro da base.
a) Determine a massa de .
b) Determine o centro de massa de .
c) Determine o momento de inércia de em relação ao seu eixo.
Passo 1
Vamos tomar nosso hemisfério como sendo a região . Além disso, como sua densidade é proporcional a distância até a origem, ela será do tipo:
Usando coordenadas esféricas:
Assim, a massa de será a integral da densidade no volume:
Assim,
Portanto,
Passo 2
Como o eixo de simetria do corpo é o eixo e o centroide dele deve estar sobre esse eixo, temos que . Resta apenas achar :
Em coordenadas esféricas, , de modo que
Assim,
Portanto, fazendo na segunda integral:
Passo 3
O momento de inércia com relação ao eixo é:
Em coordenadas esféricas:
Assim,
Portanto
Fazendo na segunda integral, temos que , de modo que
Resposta
a)
b)
c)