Enunciado

Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Se você tiver um programa que trace o gráfico de superfícies parametrizadas, use-o para traçar a superfície e o plano tangente.

x = u 2 ,     y = v 2 ,       z = u v ;         u = 1 ,   v = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação do plano é preciso um ponto que pertence a ele ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) ? A equação do plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Quando falamos em plano tangente à superfície o vetor normal é dado pelo produto vetorial dos vetores r → u e r → v que são as derivadas parciais da função paramétrica em relação às variáveis u e v de parametrização.

O ponto já foi dado. É u = 1 e v = 1 , nas coordenadas cartesianas:

x = 1 ,   y = 1 ,   z = 1

Assim P 0 = 1,1 , 1 .

Passo 2

Agora temos que encontrar o vetor normal ao plano. Vamos montar a função vetorial:

r → u , v = x u , v i → + y u , v j → + z u , v k →

r → u , v = u 2 i → + v 2 j → + ( u v ) k →

Agora vamos fazer a derivada parcial de r → em relação à v :

r → v = ∂ x ∂ v i → + ∂ y ∂ v j → + ∂ z ∂ v k →

r → v = 0,2 v , u = ( 0,2 , 1 )

Agora vamos fazer a derivada parcial de r → em relação à u :

r → u = ∂ x ∂ u i → + ∂ y ∂ u j → + ∂ z ∂ u k →

r → u = 2 u , 0 , v = ( 2,0 , 1 )

E agora calcular o vetor normal ao plano r → u × r → v :

r → u × r → v = i → j → k → 2 0 1 0 2 1 = i → - 2 + j → - 2 + k → ( 4 )

Assim o vetor normal ao plano é - 2 , - 2,4 .

Passo 3

Já que temos o vetor normal ( - 2 , - 2,4 ) = ( a , b , c ) e o ponto ( 1,1 , 1 ) = x 0 , y 0 , z 0 , e lembrando que a equação do plano é (dá uma espiada no passo um):

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Agora é só substituir!

- 2 x - 1 - 2 y - 1 + 4 z - 1 = 0

- 2 x - 2 y + 4 z + 2 + 2 - 4 = 0

- 2 x - 2 y + 4 z = 0

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por - 2 :

x + y - 2 z = 0

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

x + y - 2 z = 0

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