Enunciado

Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Se você tiver um programa que trace o gráfico de superfícies parametrizadas, use-o para traçar a superfície e o plano tangente.

r → u , v = u v i → + u   s e n   v j → + v   c o s   u   k → ,   u = 0 , v = π

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação do plano é preciso um ponto que pertence a ele ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) ? A equação do plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Quando falamos em plano tangente à superfície o vetor normal é dado pelo produto vetorial dos vetores r → u e r → v que são as derivadas parciais da função paramétrica em relação às variáveis u e v de parametrização.

O ponto já foi dado. É u = 0 e v = π , nas coordenadas cartesianas:

x = 0 ,   y = 0 ,   z = π

Assim P 0 = 0 , 0 , π .

Passo 2

Agora temos que encontrar o vetor normal ao plano. Vamos montar a função vetorial:

r → u , v = x u , v i → + y u , v j → + z u , v k →

r → u , v = u v i → + u   s e n   v j → + v   c o s   u   k →

Agora vamos fazer a derivada parcial de r → em relação à v :

r → v = ∂ x ∂ v i → + ∂ y ∂ v j → + ∂ z ∂ v k →

r → v = u , u   c o s v   , c o s u   = ( 0,0 , 1 )

Agora vamos fazer a derivada parcial de r → em relação à u :

r → u = ∂ x ∂ u i → + ∂ y ∂ u j → + ∂ z ∂ u k →

r → u = v ,   s e n v ,   - v   s e n u = ( π , 0,0 )

E agora calcular o vetor normal ao plano r → u × r → v :

r → u × r → v = i → j → k → 0 0 1 π 0 0 = i → 0 + j → π + k → ( 0 )

Assim o vetor normal ao plano é 0 , π , 0 .

Passo 3

Já que temos o vetor normal ( 0 , π , 0 ) = ( a , b , c ) e o ponto ( 0,0 , π ) = x 0 , y 0 , z 0 , e lembrando que a equação do plano é (dá uma espiada no passo um):

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Agora é só substituir!

0 x - 0 + π y - 0 + 0 z - π = 0

π y = 0

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

π y = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Se você tiver um programa que trace o gráfico de superfícies parametrizadas, use-o para traçar a superfície
Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Se você tiver um programa que trace o gráfico de superfícies parametrizadas, use-o para traçar a superfície
Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Se você tiver um programa que trace o gráfico de superfícies parametrizadas, use-o para traçar a superfície
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. r u , v = u c o s v i ⃑ + u s e n v j ⃑ + v k ⃑ ;u = 1 , v = π 3
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. r u , v = s e n ( u ) i ⃑ + c o s ⁡ ( u ) s e n v j ⃑ + s e n ( v ) k ⃑ ;u = π 6 , v = π 6