Enunciado

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Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado. (Escolha o domínio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente.) Em seguida, dê zoom até que a superfície e o plano tangente perto do ponto se tornem indistinguíveis.

z = arctan ⁡ x y 2             ( 1 , 1 ,   π / 4 )

Passo 1

Show de bola, galera. Antes de sairmos plotando os gráficos, precisamos calcular primeiro a equação do plano tangente à superfície no dado ponto.

Antes, vamos determinar o ponto x 0 , y 0 , z 0 :

x 0 , y 0 , z 0 = x 0 , y 0 , arctan ⁡ x 0 y 0 2 ⏟ z 0 = 1 , 1 ,   π / 4 ,   0,596

Se definirmos uma função f x , y = z , precisaremos calcular as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y no ponto ( 1,1 ,   π / 4 ) :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x arctan ⁡ x y 2 = y 2 1 + x y 2 2 →       N o   p o n t o   ( 1,1 ,   π / 4 )     ∂ f ∂ x ( 1,1 ,   π / 4 ) = 0 , 422

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y arctan ⁡ x y 2 = 2 x y 1 + x y 2 2 →       N o   p o n t o   ( 1,1 ,   π / 4 )       ∂ f ∂ y ( 1,1 ,   π / 4 ) = 1 , 183

Desta forma, temos a seguinte equação para o plano tangente:

z - 0,596 ⏟ z 0 = 0 , 422 ⏟ ∂ f ∂ x ∙ x - 1 , 1 ⏟ x 0 + 1 , 183 ⏟ ∂ f ∂ y ∙ y - π / 4 ⏟ y 0 ∴ z = 0,422 x + 1 , 183 y - 0 , 797

Passo 2

Seguindo a lógica do enunciado, chegamos nos seguintes gráficos:

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