Enunciado

Determine a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

f x = x 2 - 3 x + 6 ;       x = - 1 ,         x = 2

Passo 1

Vamos lá, temos que a equação da reta tangente é da forma:

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 são pontos da reta, e m é a inclinação da reta que é igual a derivada de f x no ponto que queremos.

Vamos achar a inclinação:

m = f ' x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x 2 - 3 x + ∆ x + 6   - x 2 - 3 x + 6   ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ x 2 + 2 x ∆ x + ∆ x 2 - 3 x - 3 ∆ x + 6   - x 2 + 3 x - 6   ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x ∆ x + ∆ x 2 - 3 ∆ x     ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x + ∆ x - 3 = 2 x + 0 - 3 = 2 x - 3

Passo 2

Para x = - 1 vamos ter:

m = f ' - 1 = 2 ⋅ - 1 - 3 = - 2 - 3 = - 5

E só nos falta achar f - 1 :

f - 1 = - 1 2 - 3 ⋅ - 1 + 6 = 1 + 3 + 6 = 10

Vamos montar a equação:

y - y 0 = m x - x 0 → y - f - 1 = f ' - 1 x - - 1 → y - 10 = - 5 x + 1 →

y = - 5 x - 5 + 10 → y = - 5 x + 5

Passo 3

Agora para x = 2 vamos ter:

m = f ' 2 = 2 ⋅ 2 - 3 = 4 - 3 = 1

E só nos falta achar f 2 :

f 2 = 2 2 - 3 ⋅ 2 + 6 = 4 - 6 + 6 = 4

Vamos montar a equação:

y - y 0 = m x - x 0 → y - f 2 = f ' 2 x - 2 → y - 4 = 1 x - 2 →

y = x - 2 + 4 → y = x + 2

Passo 4

Aqui temos o gráfico da reta tangente para x = - 1 :

Aqui para x = 2 :

Resposta

y = - 5 x + 5

y = x + 2

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