Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 51
Determine as equações para o círculo osculador da elipse nos pontos e . Utilize uma calculadora gráfica ou computador para traçar a elipse e ambos os círculos osculadores na mesma tela.
Passo 1
O circulo osculador tem raio , ou seja o raio é o inverso da curvatura da função no ponto, então para saber o raio, basta calcular a curvatura.
Para isso, vamos parametrizar a curva, para parametrizar a elipse, vamos dividir por a equação e ficamos com
Agora temos que
Passo 2
Para achar a curvatura, vamos usar a fórmula
Para isso, vamos calcular as derivadas
Calculando o produto vetorial
Calculando o módulo agora
Calculando agora o módulo da primeira derivada
Passo 3
A curvatura então é
Nos pontos e , temos e
Passo 4
Analisando o gráfico da elipse
No ponto o vetor normal vai para a direita horizontalmente, então precisamos de uma circunferência com raio que contenha o ponto e o do centro é . Então a circunferência tem a forma
Para conter o ponto , temos que descobrir , substituindo o ponto na equação
Calculando por Bhaskara
Se pegarmos a raiz positiva, a circunferência fica do lado de fora da elipse, então
Então nossa circunferência osculadora a função no ponto é
Passo 5
No ponto o vetor normal vai para cima verticalmente, então precisamos de uma circunferência com raio que contenha o ponto e o do centro é . Então a circunferência tem a forma
Para conter o ponto , temos que descobrir , substituindo o ponto na equação
Calculando por Bhaskara
Se pegarmos a raiz positiva, a circunferência fica do lado de fora da elipse, então
Então nossa circunferência osculadora a função no ponto é
Passo 6
No gráfico
Resposta
No ponto :
No ponto :