Enunciado

Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

r t = < 1 + t , 3 t ,   - t >  

Passo 1

Queremos esboçar o gráfico da seguinte função paramétrica, mostrando a direção em que o parâmetro cresce:

r t = < 1 + t , 3 t , - t >

Passo 2

Se r t = < 1 + t , 3 t , - t > :

x = 1 + t ,     ( 1 )

y = 3 t ,     ( 2 )

z = - t → t = - z ,     ( 3 )

Aplicando a equação ( 3 ) em ( 1 ) e ( 2 ) :

x = 1 - z → z = 1 - x

y = - 3 z → z = - y 3

Todas as variáveis no problema aparecem de forma linear, o que significa que será uma reta a curva que queremos esboçar.

Além disso, quanto maior o valor de t , maior o valor de y . Assim, o parâmetro cresce na direção de crescimento de y .

Além disso, ela respeitará que as equações lineares: z = 1 - x e z = - y 3 .

Assim, o gráfico da equação é:

Resposta

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Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para traçar na mesma tela a curva e sua função curvatura k ( x ) . Esse é o gráfico que você esperava? y = x 4
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) . (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = 2 t ,e t , e - t
Encontre os vetores T , N e B no ponto indicado. r t = e t , e t sen ⁡ t , e t cos ⁡ t , ( 1,0 , 1 )
Em que pontos a curva r → t = t i → + 2 t - t 2 k → intercepta o parabolóide z = x 2 + y 2 ?
Use um computador para esboçar o gráfico da curva com a equação vetorial dada. Certifique-se de escolher um parâmetro para o domínio e pontos que revelem a verdadeira natureza da curva.