Enunciado

Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando x → ∞ ?

y = e x

Passo 1

Para achar a curvatura podemos usar a fórmula

κ x = f ' ' x [ 1 + f ' x 2 ] 3 / 2

Como podemos achar a curvatura em função de x , para acharmos a curvatura máxima, podemos derivar e igualar a 0 , então é isso que vamos fazer.

Passo 2

Como a derivada da exponencial é ela mesma, f ' ' = f ' = e x

Substituindo na fórmula

κ x = e x [ 1 + e x 2 ] 3 / 2

Como a exponencial é sempre positiva, podemos tirar ela do módulo

κ x = e x [ 1 + e 2 x ] 3 / 2

Passo 3

Derivando κ x usando a regra do quociente

κ ' = e x [ 1 + e 2 x ] 3 2 - e x 3 2 1 + e 2 x 1 2 ⋅ e 2 x ⋅ 2     [ 1 + e 2 x ] 3

κ ' = e x [ 1 + e 2 x ] 3 2 - 3 e 3 x 1 + e 2 x 1 2     [ 1 + e 2 x ] 3

Igualando a 0 para achar o ponto crítico

e x [ 1 + e 2 x ] 3 2 - 3 e 3 x 1 + e 2 x 1 2     [ 1 + e 2 x ] 3 = 0

Quando igualamos uma fração a 0 , seu numerador tem que ser igual a 0

e x [ 1 + e 2 x ] 3 2 - 3 e 3 x 1 + e 2 x 1 2 = 0

e x [ 1 + e 2 x ] 3 2 = 3 e 3 x 1 + e 2 x 1 2

Dividindo por e x 1 + e 2 x 1 2

1 + e 2 x = 3 e 2 x

2 e 2 x = 1

e 2 x = 1 2

Aplicando o logaritmo, pra cancelar a exponencial

ln ⁡ e 2 x = ln ⁡ 1 2

2 x = ln ⁡ 1 2

x = ln ⁡ 1 2 2 = ln ⁡ 1 2

Para saber o ponto, precisamos saber também o y

y = e ln ⁡ 1 2 = 1 2

Então o ponto é

ln ⁡ 1 2 , 1 2

Passo 4

Para conferir se esse é um ponto de máximo, podemos comparar o valor da curvatura em um ponto antes e um após.

ln ⁡ 1 2 = - 0 , 34657

Então podemos usar - 1 como ponto anterior e 0 como superior.

κ x = e x [ 1 + e 2 x ] 3 / 2

Calculando no ponto crítico

κ ln ⁡ 1 2 = e ln ⁡ 1 2 [ 1 + e 2 ln ⁡ 1 2 ] 3 / 2 = 1 2 1 + 1 2 3 / 2

κ ln ⁡ 1 2 = 1 2 3 / 2 3 / 2 = 2 3 / 2 3 3 / 2 2 - 1 / 2 = 2 3 3 / 2 = 0 , 38490 …

Calculando nos outros pontos

κ - 1 = e - 1 [ 1 + e - 2 ] 3 / 2 = 0 , 30410 …

κ 0 = e 0 [ 1 + e 0 ] 3 / 2 = 1 2 3 / 2 = 0 , 3535 5 …

Então κ ln ⁡ 1 2 > κ - 1 e κ ln ⁡ 1 2 > κ 0 , logo é realmente um ponto de máximo.

Passo 5

Para saber o que acontece quando x → ∞ , vamos calcular o limite

lim x → ∞ ⁡ e x [ 1 + e 2 x ] 3 / 2

Colocando e 2 x em evidencia

lim x → ∞ ⁡ e x [ 1 e 2 x + 1 e 2 x ] 3 / 2 = lim x → ∞ ⁡ e x 1 e 2 x + 1 3 / 2 e 3 x

lim x → ∞ ⁡ 1 1 e 2 x + 1 3 / 2 e 2 x = 0

Então quando x → ∞ a curvatura vai pra 0 e a função tende a ter um comportamento de reta.

Resposta

ln ⁡ 1 2 , 1 2

Com x → ∞ , κ → 0 .

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