Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 31
Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando ?
Passo 1
Para achar a curvatura podemos usar a fórmula
Como podemos achar a curvatura em função de , para acharmos a curvatura máxima, podemos derivar e igualar a , então é isso que vamos fazer.
Passo 2
Como a derivada da exponencial é ela mesma,
Substituindo na fórmula
Como a exponencial é sempre positiva, podemos tirar ela do módulo
Passo 3
Derivando usando a regra do quociente
Igualando a para achar o ponto crítico
Quando igualamos uma fração a , seu numerador tem que ser igual a
Dividindo por
Aplicando o logaritmo, pra cancelar a exponencial
Para saber o ponto, precisamos saber também o
Então o ponto é
Passo 4
Para conferir se esse é um ponto de máximo, podemos comparar o valor da curvatura em um ponto antes e um após.
Então podemos usar como ponto anterior e como superior.
Calculando no ponto crítico
Calculando nos outros pontos
Então e , logo é realmente um ponto de máximo.
Passo 5
Para saber o que acontece quando , vamos calcular o limite
Colocando em evidencia
Então quando a curvatura vai pra e a função tende a ter um comportamento de reta.
Resposta
Com , .