t)   ∫ x 5 + x + 1 x 2 d x

Passo 1

Chamando nossa integral de I , temos:

I = ∫ x 5 + x + 1 x 2 d x = ∫ x 3 d x + ∫ 1 x d x + ∫ 1 x 2 d x  

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1 e ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Passo 2

Resolvendo!

I 1 = ∫ x 3   d x = x 3 + 1 3 + 1 + c 1 = x 4 4 + c 1

E,

I 2 = ∫ 1 x d x = l n | x | + c 2

Além disso,

I 3 = ∫ 1 x 2 d x = x - 2 + 1 - 2 + 1 + c 3 = - x - 1 + c 3 =   - 1 x + c 3

E vai ficar assim:

I = I 1 + I 2 + I 3 = x 4 4 + c 1 + ln ⁡ x + c 2 - 1 x + c 3

I = x 4 4 + ln ⁡ x - 1 x + c

Não esquece: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Passo 3

Verificando!

I = x 4 4 + ln ⁡ x - 1 x + c

Atenção: Não esqueça da regra da cadeia.

Derivando para verificar,

I ' = x 4 4 + ln ⁡ x - 1 x + c ' = 4 ⋅ x 4 - 1 4 + 1 x - - 1 ⋅ x - 1 - 1 = x 3 + 1 x + 1 x 2 = x 5 + x + 1 x 2

Como a derivada deu igual que queremos integrar, então acertamos!!

Resposta

x 4 4 + ln ⁡ x - 1 x + c

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