Enunciado

Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por x = h ( y , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para frente (ou seja, para o observador, quando os eixos estão desenhados na posição usual).

Passo 1

Oi galera, tudo bem? De maneira semelhante à fórmula 10 , temos que a superfície vai ser dada por:

x = h ( y , z )

E a função f ( x , y , z ) vai ser:

f x , y , z = x - h y , z = 0

Passo 2

Sendo assim o vetor normal n → à essa superfície é dado por:

n → = ∇ f ( x , y , z ) | ∇ f ( x , y , z ) |

Aplicando na função f   definida no passo anterior temos:

n → = 1 , - ∂ h ∂ y , - ∂ h ∂ z 1 + - ∂ h ∂ y 2 + - ∂ h ∂ z 2

Passo 3

Legal! O próximo passo é definir o vetor F → :

F → = P i → + Q j → + R k →

Beleza! Agora é só prosseguir como no livro texto!

Passo 4

Vamos colocar tudo na integral!

∬ S F → ⋅ d S → = ∬ S F → ⋅ n → d S = ∬ S P , Q , R ⋅ 1 , -   ∂ h ∂ y , - ∂ h ∂ z 1 + - ∂ h ∂ y 2 + - ∂ h ∂ z 2 . 1 + - ∂ h ∂ y 2 + - ∂ h ∂ z 2 d A

Simplificando os radicais ficamos e fazendo o produto escalar temos:

∬ S F → ⋅ n → d S = ∬ D P - Q ∂ h ∂ y - R ∂ h ∂ z d A

Certo! É bem isso que queríamos mostrar! Vamos pra próxima?

Resposta

∬ S F → ⋅ n → d S = ∬ D P - Q ∂ h ∂ y - R ∂ h ∂ z d A

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